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7.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),滿足f(0)=1,f(1)=0,且f(x+1)是偶函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設h(x)={fxx1f2xx1,若對任意的x∈[t,t+2],不等式h(x+t)≤h(x2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)由函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),滿足f(0)=1,f(1)=0,且f(x+1)是偶函數(shù),列出方程組求出a,b,c,由此能求出f(x)的值.
(2)求出hx={x12x1x12x1,從而t≤x2-x對任意x∈[t,t+2]恒成立,令φ(x)=x2-x,利用分類討論思想能求出實數(shù)t的取值范圍.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),滿足f(0)=1,f(1)=0,且f(x+1)是偶函數(shù),
{f0=c=1f1=a+b+c=02a=1{a=1b=2c=1
∴f(x)=x2-2x+1-…(3分)
(2)∵h(x)={fxx1f2xx1
hx={x12x1x12x1,
由題意知h(x)在R上單調(diào)遞增,∴h(x+t)≤h(x2)⇒x+t≤x2,
即t≤x2-x對任意x∈[t,t+2]恒成立,…(5分)
令φ(x)=x2-x,得:
①當t12時,φ(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,
φ{(diào)(x)_{min}}=φ(t)={t^2}-t≥t⇒t≤0或t≥2,∴t≥2;…(7分)
②當t+2≤\frac{1}{2}t≤-\frac{3}{2}時,φ(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增減,
φ{(diào)(x)_{min}}=φ(t+2)={(t+2)^2}-(t+2)≥t⇒{t^2}+2t+2≥0,此式恒成立,∴t≤-\frac{3}{2}.…(9分)
③當-\frac{3}{2}<t≤\frac{1}{2}時,φ{(diào)(x)_{min}}=φ(\frac{1}{2})={({\frac{1}{2}})^2}-\frac{1}{2}≥t⇒t≤-\frac{1}{4},∴-\frac{3}{2}<t≤-\frac{1}{4}.      …(11分)
綜上,實數(shù)t的取值范圍為({-∞,-\frac{1}{4}}]∪[{2,+∞}].…(12分)

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意分類討論思想的合理運用.

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