若直角三角形周長為定值l(l>0),求三角形面積的最大值.

答案:
解析:

  解:設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,則

  a+b+l

  ∵a+b≥2,a2+b2≥2ab,∴a+b+≥2

  故,∴S=ab≤()2l2

  即三角形面積的最大值為l2

  此時,三角形為等腰直角三角形.

  分析:設(shè)出直角三角形的兩條直角邊a、b,則面積S=ab.在求面積S的最大值時.一方面注意利用均值不等式,另一方面注意可把a(bǔ)b作為一個整體進(jìn)行處理.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2005•上海模擬)(1)若直角三角形兩直角邊長之和為12,求其周長p的最小值;
(2)若三角形有一個內(nèi)角為arccos
7
9
,周長為定值p,求面積S的最大值;
(3)為了研究邊長a、b、c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:S=
1
2
absinC≤
1
2
×9×8sinC=36sinC
,要使S的值最大,則應(yīng)使sinC最大,即使∠C最大,也就是使∠C所對的邊c邊長最大,所以,當(dāng)a?9,b?8,c?4時該三角形面積最大,此時cosC=
43
48
,sinC=
455
48
,所以,該三角形面積的最大值是
3
455
4
.以上解答是否正確?若不正確,請你給出正確的解答.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•上海模擬)(1)若直角三角形兩直角邊長之和為12,求其周長p的最小值;
(2)若三角形有一個內(nèi)角為arccos
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,周長為定值p,求面積S的最大值;
(3)為了研究邊長a,b,c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]=-c4+2(a2+b2)c2-(a2-b22=-[c2-(a2+b2)]2+4a2b2
而-[c2-(a2+b2)]2≤0,a2≤81,b2≤64,則S≤36,但是,其中等號成立的條件是c2=a2+b2,a=9,b=8,于是c2=145與3≤c≤4矛盾,所以,此三角形的面積不存在最大值.
以上解答是否正確?若不正確,請你給出正確的答案.
(注:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)稱為三角形面積的海倫公式,它已經(jīng)被證明是正確的)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2004-2005學(xué)年上海市十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

(1)若直角三角形兩直角邊長之和為12,求其周長p的最小值;
(2)若三角形有一個內(nèi)角為,周長為定值p,求面積S的最大值;
(3)為了研究邊長a,b,c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]=-c4+2(a2+b2)c2-(a2-b22=-[c2-(a2+b2)]2+4a2b2
而-[c2-(a2+b2)]2≤0,a2≤81,b2≤64,則S≤36,但是,其中等號成立的條件是c2=a2+b2,a=9,b=8,于是c2=145與3≤c≤4矛盾,所以,此三角形的面積不存在最大值.
以上解答是否正確?若不正確,請你給出正確的答案.
(注:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)稱為三角形面積的海倫公式,它已經(jīng)被證明是正確的)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006-2007學(xué)年上海市十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

(1)若直角三角形兩直角邊長之和為12,求其周長p的最小值;
(2)若三角形有一個內(nèi)角為,周長為定值p,求面積S的最大值;
(3)為了研究邊長a,b,c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=[(a+b)2-c2][c2-(a-b)2]=-c4+2(a2+b2)c2-(a2-b22=-[c2-(a2+b2)]2+4a2b2
而-[c2-(a2+b2)]2≤0,a2≤81,b2≤64,則S≤36,但是,其中等號成立的條件是c2=a2+b2,a=9,b=8,于是c2=145與3≤c≤4矛盾,所以,此三角形的面積不存在最大值.
以上解答是否正確?若不正確,請你給出正確的答案.
(注:16S2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)稱為三角形面積的海倫公式,它已經(jīng)被證明是正確的)

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