• 已知橢圓C的方程為,點(diǎn)A、B分別為其左、右頂點(diǎn),點(diǎn)F1、F2分別為其左、右焦點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AF1為半徑作圓A;以點(diǎn)B為圓心,OB為半徑作圓B;若直線被圓A和圓B截得的弦長之比為
    (1)求橢圓C的離心率;
    (2)己知a=7,問是否存在點(diǎn)P,使得過P點(diǎn)有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為;若存在,請求出所有的P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

    【答案】分析:(1)根據(jù)直線l的斜率可知直線l的傾斜角,進(jìn)而可求得點(diǎn)A到直線l的距離,進(jìn)而表示出直線l被圓A截得的弦長和被圓B截得的弦長,利用弦長之比為,求得a和c的關(guān)系,進(jìn)而求得e.
    (2)假設(shè)存在,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),過P點(diǎn)的直線為L,當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí),直線L不能被兩圓同時(shí)所截,故可知直線L的斜率一定存在,進(jìn)而可設(shè)直線方程,求得點(diǎn)A(-7,0)到直線L的距離,根據(jù)(1)的離心率求得圓A的半徑,同樣可求得圓B的半徑,則可求得直線L被兩圓截得的弦長,根據(jù)他們的比為建立等式,整理成關(guān)于k的一元二次方程,方程有無窮多解,進(jìn)而求得m和n,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得.
    解答:解:(1)由,得直線l的傾斜角為150°,
    則點(diǎn)A到直線l的距離,
    故直線l被圓A截得的弦長為
    直線l被圓B截得的弦長為,
    據(jù)題意有:,即
    化簡得:16e2-32e+7=0,
    解得:,又橢圓的離心率e∈(0,1);
    故橢圓C的離心率為

    (2)假設(shè)存在,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),過P點(diǎn)的直線為L;
    當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí),直線L不能被兩圓同時(shí)所截;
    故可設(shè)直線L的方程為y-n=k(x-m),
    則點(diǎn)A(-7,0)到直線L的距離,
    由(1)有,得=,
    故直線L被圓A截得的弦長為
    則點(diǎn)B(7,0)到直線L的距離,rB=7,
    故直線L被圓B截得的弦長為
    據(jù)題意有:,即有16(rA2-D12)=9(rB2-D22),整理得4D1=3D2,
    =
    兩邊平方整理成關(guān)于k的一元二次方程得(7m2+350m+343)k2-(350m+14mn)k+7n2=0,
    關(guān)于k的方程有無窮多解,
    故有:
    故所求點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,0)或(-49,0).
    點(diǎn)評:本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓、圓的關(guān)系的綜合考查.考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力.
    練習(xí)冊系列答案
    相關(guān)習(xí)題

    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    已知橢圓C的方程為
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a≥2b>0)

    (1)求橢圓C的離心率的取值范圍;
    (2)若橢圓C與橢圓2x2+5y2=50有相同的焦點(diǎn),且過點(diǎn)M(4,1),求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    已知橢圓C的方程為
    x2
    a2
    y2
    b2
    =1
    (a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
    a2+b2
    的圓為橢圓C的“伴隨圓”,橢圓C的短軸長為2,離心率為
    6
    3

    (Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
    (Ⅱ)若直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),與其“伴隨圓”交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)|CD|=
    13
     時(shí),求△AOB面積的最大值.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (2012•泉州模擬)已知橢圓C的方程為:
    x2
    a2
    +
    y2
    2
    =1 (a>0)
    ,其焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=
    2
    2

    (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
    (2)設(shè)動點(diǎn)P(x0,y0)滿足
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ,其中M,N是橢圓C上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為-
    1
    2
    ,求證:x02+2
    y
    2
    0
    為定值.
    (3)在(2)的條件下,問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (2012•衡陽模擬)已知橢圓C的方程為
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a>b>0),離心率e=
    2
    2
    ,上焦點(diǎn)到直線y=
    a2
    c
    的距離為
    2
    2
    ,直線l與y軸交于一點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B且
    AP
    =t
    PB

    (1)求橢圓C的方程;
    (2)若
    OA
    +t
    OB
    =4
    OP
    ,求m的取值范圍•

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    已知橢圓C的方程為
    x 2
    4
    +
    y2
    3
    =1,過C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
    m
    =(-1,-4),若向量
    OA
    -
    OB
    m
    -
    OF
    共線,則直線AB的方程是(  )

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