Question

橢圓一短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連接組成正三角形，且焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于3．過(guò)以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓上任意一點(diǎn)P作該圓的切線l，且l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連接組成正三角形可求得b和c的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于3可知a和c的關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）令P（x，y），令A(yù)（x₁，x₂），B（x₂，y₂），進(jìn)而可表示l的方程，先看當(dāng)y=0時(shí)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理得到x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而表示出根據(jù)x²的范圍求得的范圍；再看y=0，x²=1時(shí)，可分別求得A，B的坐標(biāo)，則的值可求得，最后綜合可得答案．
解答：解：（1）由題意得，
求得a=2，b=，c=1
∴橢圓方程為．

（2）令P（x，y），因圓的方程為x²+y²=1
∴l(xiāng)的方程為：xx+yy=1，令A(yù)（x₁，x₂），B（x₂，y₂）
①當(dāng)y=0時(shí)，由得（3+x²）x²-8xx+12x₂-8=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+y₁y₂=-
∵0≤x²＜1
∴-≤＜-
②當(dāng)y=0，x²=1時(shí)，可求得A（-1，），B（-1，-），或A（1，），B（1，-）
此時(shí)都有=-
綜上-≤≤-
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力．