Question

如圖，用半徑為R的圓鐵皮，剪一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形的漏斗，問圓心角α取什么值時，漏斗容積最大．（圓錐體積公式：，其中圓錐的底面半徑為r，高為h）

Answer 1

【答案】分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．
解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，
==．…（3分）．
令V'=0，即，得．…（5分）
當(dāng)時，V'＞0．
當(dāng)時，V'＜0．
所以，時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．…（8分）
把代入r²+h²=R²，得．
由Ra=2πr，得
答：圓心角α為弧度時，漏斗容積最大．…（12分）
點評：本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系，體積的計算，考查計算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，必須注意函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系．