精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知函數(shù)f（x）=sinx，對于滿足0＜x₁＜x₂＜π的任意 x₁，x₂，給出下列結(jié)論
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0；
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁；
（4） $數(shù)學(xué)公式$ ＞ $數(shù)學(xué)公式$ ．
其中正確的結(jié)論為________．（把所有正確的序號都填上）

解：函數(shù)f（x）=sinx，當自變量在（0，π）上變化時，函數(shù)的圖象是先升后降，
（1）（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0? $\text{[math]}$ ＜0，即圖象上任意兩點連線的斜率小于0，由函數(shù)圖象的性質(zhì)知，此結(jié)論不成立
（2） x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）? $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，此說明函數(shù)的變化率隨著自變量的增大逐漸變小，與函數(shù)的變化率的變化相符，故結(jié)論正確；
（3）f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁? $\text{[math]}$ ，由導(dǎo)數(shù)的定義知此函數(shù)在所給的區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值恒小于1，符合題意，故結(jié)論正確；
（4） $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 說明函數(shù)是一個凸函數(shù)，而f（x）=sinx，當自變量在（0，π）上不是凸函數(shù)，故此結(jié)論不正確
綜上（2）、（3）是正確的
故答案為：（2）、（3）
分析：本題要借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來研究，對四個命題的形式加以變化變成規(guī)范的形式，利用相關(guān)的性質(zhì)判斷即可．
對于選項（1）由于（ x₁-x₂）[f（ x₂）-f（ x₁）]＞0等價于 $\text{[math]}$ ＜0故可借助函數(shù)的圖象得出結(jié)論
對于選項（2）由于 x₁f（ x₂）＜x₂f（ x₁）等價于 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，可借助函數(shù)的變化率得出結(jié)論
對于選項（3）由于f（ x₂）-f（ x₁）＜x₂-x₁等價于 $\text{[math]}$ ，故可借助函數(shù)的圖象變化規(guī)律得出結(jié)論
對于選項（4） $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 說明函數(shù)是一個凸函數(shù)，以此來比較函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．
點評：本題考查正弦函數(shù)的圖象，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，用正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷其單調(diào)性，知識性較強．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當x=

時，取得極小值

．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x1，x2∈[-

，

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當?shù)恼f明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x-b

在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=2ax-

是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對于（0，1]內(nèi)的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（ 2x+

）+sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2

•

ab，c=2

，f（A）=

，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=

a	2
1	b

有一個屬于特征值1的特征向量

-1

，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=

1	-1
0	1

，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=t-3

（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設(shè)點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-a在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；
（2）如果對任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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