Question

（理科）南昌某中學為了重視國學的基礎教育，開設了A，B，C，D，E共5門選修課，每個學生必須且只能選修1門課程課，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學生：
（1）求恰有2門選修課沒有被這4名學生選擇的概率；
（2）設這4名學生選擇A選修課的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）每個學生必須且只需選修1門選修課，每一人都有種選擇，總共有5⁴，恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率，則有C₅²C₄²A₃³，從而求解；
（2）某一選修課被這3名學生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，4，分別算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答： 解：（1）根據(jù)每個學生必須且只需選修1門選修課，每一人都有種選擇，總共有5⁴，恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率，則有C₅²C₄²A₃³，
∴恰有2門選修課這4名學生都沒選擇的概率：P₂=

C 2 5 C 2 4 A 3 3

54

=

72

125

（2）設A選修課被這4名學生選擇的人數(shù)為ξ，則ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=

44

54

=

256

625

，P（ξ=1）=

C 1 4 43

54

=

256

625

，P（ξ=2）=

C 2 4 42

54

=

96

625

，
P（ξ=3）=

C 3 4 41

54

=

16

625

，P（ξ=4）=

C 4 4

54

=

1

625

分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P	256 625	256 625	96 625	16 625	1 625

∴Eξ=0×

256

625

+1×

256

625

+2×

96

625

+3×

16

625

+4×

1

625

=

4

5

．

點評：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應用意識和創(chuàng)新意識．