已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx),
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
(ω>0),若f(x)圖象中相鄰對(duì)稱軸間的距離為
π
2

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-a在區(qū)間[-
π
6
π
4
]上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
分析:(1)利用兩角和正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式,根據(jù)周期求出w=1,由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,求出
x的范圍,即為函數(shù)f(x)的增區(qū)間.
(2)由題意可得2x+
π
6
∈[-
π
6
,
3
]
,解可得答案.
解答:解:(1)∵f(x)=
m
n
=cos2ωx+
3
sin2ωx=2sin(2ωx+
π
6
)
,
f(x)圖象中相鄰對(duì)稱軸間的距離為
π
2
,∴T=π,∴w=1.
f(x)=2sin(2x+
π
6
)
,由 2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,可得  kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為:[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
]k∈Z

(2)∵g(x)=2sin(2x+
π
6
)-a
x∈[-
π
6
,
π
4
]
上恰有兩個(gè)零點(diǎn),
2x+
π
6
∈[-
π
6
,
3
]
,可知:a的取值范圍是:[
3
,2)
點(diǎn)評(píng):本題考查兩角和正弦公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,周期性,函數(shù)的零點(diǎn)的定義,求出函數(shù)f(x)的解析式,是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評(píng)分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時(shí),實(shí)數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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