8.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}$,若當(dāng)方程f(x)=m有四個(gè)不等實(shí)根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)時(shí),不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為 (  )
A.$\frac{9}{8}$B.2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{25}{16}$D.$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$

分析 畫(huà)出函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}$的圖象,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得x1•x2=1,x1+x2>$2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=2,(4-x3)•(4-x4)=1,且x1+x2+x3+x4=8,則不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,可化為:k≥$\frac{11-({x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2})}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$恒成立,求出$\frac{11-({x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2})}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$的最大值,可得k的范圍,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的最小值.

解答 解:函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|,0<x≤2}\\{f(4-x),2<x<4}\end{array}$的圖象如下圖所示:

當(dāng)方程f(x)=m有四個(gè)不等實(shí)根x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)時(shí),
|lnx1|=|lnx2|,即x1•x2=1,x1+x2>$2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=2,
|ln(4-x3)|=|(4-x4)|,即(4-x3)•(4-x4)=1,
且x1+x2+x3+x4=8,
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立,
則k≥$\frac{11-({x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2})}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$恒成立,
由$\frac{11-({x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2})}{{x}_{3}•{x}_{4}-1}$=$\frac{11-{({x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;})}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}{4({x}_{3}+{x}_{4})-16}$=$\frac{13-{({x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;})}^{2}}{16-4({x}_{1}+{x}_{2})}$=$\frac{1}{4}$[(x1+x2)-4$+\frac{3}{{(x}_{1}+{x}_{2})-4}$+8]≤2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故k≥2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故實(shí)數(shù)k的最小值為2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故選:B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題,綜合性強(qiáng),轉(zhuǎn)化困難,屬于難題.

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