Question

給出以下五個結(jié)論：
①存在實數(shù)α，使sinα•cosα=1；     
②函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)是奇函數(shù)；
③α是第二象限角時，tanα=-

sinα

cosα

；  
④函數(shù)f（x）=

1

x

-x的遞減區(qū)間為（-∞，+∞）
⑤函數(shù)f(x)=

x

x+1

的對稱中心是（-1，1）
其中正確的結(jié)論是：

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：必須對選項一一加以判斷：對①運用二倍角公式；對②運用誘導(dǎo)公式；對③應(yīng)用同角三角函數(shù)的公式；
對④運用導(dǎo)數(shù)求；對⑤運用圖象變換，由反比例函數(shù)圖象平移可得．

解答： 解：①因為sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]，所以不存在實數(shù)α，使sinα•cosα=1，故①錯；
②因為函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)即f（x）=-cosx，所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故②錯；
③當(dāng)α是第二象限角時，tanα=

sinα

cosα

恒成立，故③錯；
④因為函數(shù)f（x）=

1

x

-x的導(dǎo)數(shù)f'（x）=-

1

x2

-1＜0，所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）
上均為減函數(shù)，故④錯；
⑤因為函數(shù)f(x)=

x

x+1

即f（x）=1-

1

x+1

，所以f（x）的圖象可由y=

-1

x

的圖象先向左平移一個單位，
再向上平移一個單位得到，且y=

-1

x

的圖象關(guān)于原點對稱，所以f（x）的圖象關(guān)于點（-1，1）對稱，
故⑤對．
故答案為：⑤

點評：本題主要考查了函數(shù)的兩個重要性質(zhì)--奇偶性和單調(diào)性，以及圖象平移，解題時要注意不能隨意把兩個單調(diào)區(qū)間合并，本題是一道易錯題，屬于一道基礎(chǔ)題．