已知頂點為原點O的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合

與在第一和第四象限的交點分別為A、B．

(1) 若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；

(2)若，求橢圓的離心率；

(3) 點為橢圓上的任一點，若直線、分別與軸交于點和，證明：．


 解：（1）設橢圓的右焦點為，依題意得拋物線的方程為

 ∵△是邊長為的正三角形，

∴點A的坐標是，

代入拋物線的方程解得，

故所求拋物線的方程為

（2）∵, ∴ 點的橫坐標是

代入橢圓方程解得，即點的坐標是        

∵ 點在拋物線上，

∴，                                   

將代入上式整理得：，

即，解得                        

∵ ，故所求橢圓的離心率。           

（3）證明：設，代入橢圓方程得

                       

而直線的方程為       

令得。                      

在中，以代換得    

∴

                  


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，與的夾角，且和都在集合中，

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