Question

若橢圓的中心為原點O，右焦點為F，右準線為l，若在l上存在點M，使線段OM的垂直平分線經(jīng)過F，則橢圓離心率的取值范圍為

[

2

2

，1)

．

Answer 1

分析：本題須注意到形助數(shù)的特點，借助平面幾何知識的最值構(gòu)建使問題簡單化，欲求離心率的范圍，此問題的實質(zhì)為構(gòu)造一個關(guān)于a，b，c的不等式關(guān)系即可．

解答：解：由于線段OM的垂直平分線經(jīng)過點F，
∴FM=FO
則利用平面幾何折線段大于或等于直線段（右焦點到準線之間的距離），
∴MF≥FH（右焦點到準線之間的距離）
∴FO≥FH，
即c≥

a2

c

-c
則有

c

a

≥

2

2

，又1＞

c

a

＞0．
則橢圓離心率的取值范圍為：[

2

2

，1)．
故答案為：[

2

2

，1)．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)．屬基礎題．離心率的范圍實質(zhì)為一個不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建． 利用題設和平面幾何知識的最值構(gòu)建不等式往往使問題簡單化，回味本題的探究過程，認識解析幾何中“形助數(shù)”簡化運算的途徑．