Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)（

2

，

6

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．
①設(shè)直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
②設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意c=1，

2

a2

+

3 2

b2

=1，解出即可；
（2）①設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率計(jì)算公式即可得出k₁，k₂，再利用點(diǎn)P在橢圓上即可證明．
②利用直線的點(diǎn)斜式及其①的有關(guān)結(jié)論即可證明．

解答： 解：（1）由題意橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點(diǎn)（

2

，

6

2

），
∴c=1，

2

a2

+

3 2

b2

=1
∴解得a=2，b=

3

，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），
則直線AP的方程為：y=

y0

x0+2

（x+2）
令x=2得M（2，

4y0

x0+2

）
∴k₁=

2y0

x0+2

，
∵k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

2y02

x02-4

，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，∴

x02

4

+

y02

3

=1
∴k₁k₂=-

3

2

為定值．
②直線BP的斜率為k2=

y1

x1-2

，直線m的斜率為k_m=

2-x1

y1

，
則直線m的方程為y=

2-x1

y1

（x-2）+y₀=

2-x1

y1

（x-2）+

4y1

x1+2

=

2-x1

y1

（x+1），
所以直線m過定點(diǎn)（-1，0）．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的定義及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式及其直線的點(diǎn)斜式是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明過的結(jié)論是解題的技巧．