Question

如果對(duì)于任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)都在函數(shù)的定義域內(nèi)，則 也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)為“保三角形函數(shù)”.現(xiàn)有下列五個(gè)函數(shù)： ①；②；③；④；⑤.

則其中是 “保三角形函數(shù)”的有                  .（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）

 

Answer 1

【答案】

①④

【解析】

試題分析：滿(mǎn)足三角形的條件是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050908425783421002/SYS201305090843262248259665_DA.files/image001.png">是單調(diào)函數(shù)，且是自變量x的2倍，所以當(dāng)三邊長(zhǎng)都在函數(shù)的定義域內(nèi)，2a，2b，2c，也極值函數(shù)定義域內(nèi)，且滿(mǎn)足構(gòu)成三角形的條件，所以①是；

②中，當(dāng)三邊長(zhǎng)都在函數(shù)的定義域內(nèi)，而雖在函數(shù)定義域內(nèi)，由于函數(shù)為增函數(shù)，且增大幅度的不同，不一定滿(mǎn)足構(gòu)成三角形的條件，所以不是。

③中取分別為3，4，5，則函數(shù)值分別為9,16,25，不能構(gòu)成三角形，不是

④f(x)＝ 是保三角形函數(shù).

對(duì)任意一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .

因?yàn)?＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.

同理可以證明：＋＞，＋＞.

所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，故 f(x)＝ 是保三角形函數(shù).

⑤在定義域內(nèi)不單調(diào)，很明顯看出來(lái)，不是。綜上知是“保三角形函數(shù)”的有①④。

考點(diǎn)：本題主要考查常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)成三角形的條件，學(xué)習(xí)能力。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題是新定義問(wèn)題，作為填空題，可以通過(guò)舉反例排除，集合函數(shù)圖象“猜測(cè)”判斷。作為解析該題，則為難題。