Question

已知函數時都取得極值
（1）求a，b的值及f（x）的單調區(qū)間
（2）若對x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數在極值點處，其導數的值為零．因此可以列出，解方程組可得a，b的值，得到表達式，最后根據所得表達式，討論導數的符號，可得函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，求出函數f（x）在閉區(qū)間[-1，2]上的最大值，這個最大值應該小于c²，最后解不等式，可得c的取值范圍．
解答：解：（1）求導數，得f′（x）=3x²+2ax+b
∵
∴⇒
∴f（x）=x³-x²-x+c，其導數為f′（x）=3x²-2x-1
當x或x＞1時，f′（x）＞0，函數為增函數；
而當＜x＜1時，f′（x）＜0，函數為減函數
∴函數f（x）的增區(qū)間為（-∞，）和（1，+∞）；減區(qū)間為（，1）
（2）∵對x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值小于右邊c²
根據（1）的單調性，可得f（x）的最大值是f（-）、f（2）中的較大值
∵f（-）=+c＜f（2）=2+c
∴f（x）的最大值是2+c
因此2+c＜c²恒成立，解之得c＜-1或c＞2
∴c的取值范圍為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
點評：本題考查了導數在最大值、最小值問題中的應用，函數在某點取得極值的條件等等知識點，屬于中檔題．