Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）先分離得，利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此，再根據(jù)單調(diào)性得，最后根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得a范圍，根據(jù)a的取值范圍可證不等式

試題解析：（1）由已知條件， ，當(dāng)時(shí)， ，

，當(dāng)時(shí)， ，所以所求切線方程為

（2）由已知條件可得有兩個(gè)相異實(shí)根，

令，則，

1）若，則， 單調(diào)遞增， 不可能有兩根；

2）若，

得，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

令解得，

由有，

由有

從而時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下表

	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>，所以， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

另解：由已知可得，則，令，

則，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

若有兩個(gè)根，則可得，

當(dāng)時(shí)， ，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以