Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常數(shù)，e≈=2.71828）．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=1時，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e²]上有兩解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：n∈N*，ln（en）＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)x=2是函數(shù)f（x）的極值點求出a的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，從而可求出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的最小值，以及區(qū)間端點的函數(shù)值，結(jié)合圖象可得m的取值范圍；
（3）ln(en)＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

等價于lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，若a=1時，由（2）知f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，可證得ln

n

n-1

＞

1

n

，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）f′(x)=

x-a

x2

．
因為x=2是函數(shù)f（x）的極值點，
所以a=2，則f（x）=

2

x

+lnx-1，
則f（1）=1，f'（1）=-1，所以切線方程為x+y-2=0；
（2）當(dāng)a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e²]，
當(dāng)x∈[

1

e

，1）時，f'（x）＜0；x∈（1，e²]時，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e²]上唯一的極小值點，∴[f（x）]_min=f（1）=0． 
又f(

1

e

)=e-2，f(e2)=

1

e2

+lne2-1=

1

e2

+1，f(

1

e

)-f(e2)=e-2-

1

e2

-1＜0，
綜上，所求實數(shù)m的取值范圍為{m|0＜m≤e-2}；
（3）ln(en)＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

等價于lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
若a=1時，由（2）知f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，∴ln

n

n-1

＞

1

n

．
故ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

即ln(

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
即ln(en)＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的證明，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力．