Question

5．某廠有容量300噸的水塔一個(gè)，每天從早六點(diǎn)到晚十點(diǎn)供應(yīng)生活和生產(chǎn)用水，已知：該廠生活用水每小時(shí)10噸，工業(yè)用水總量W（噸）與時(shí)間t（單位：小時(shí)，規(guī)定早晨六點(diǎn)時(shí)t=0）的函數(shù)關(guān)系為W=100$\sqrt{t}$，水塔的進(jìn)水量有10級(jí)，第一級(jí)每小時(shí)水10噸，以后每提高一級(jí)，進(jìn)水量增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在供應(yīng)同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管．問(wèn)該天進(jìn)水量應(yīng)選擇幾級(jí)，既能保證該廠用水（即水塔中水不空），又不會(huì)使水溢出？

Answer 1

分析 解決本題的關(guān)鍵是水塔中的水不空又不會(huì)使水溢出，其存水量的平衡與進(jìn)水量、選擇的進(jìn)水級(jí)別與進(jìn)水時(shí)間相關(guān)，而出水量有生活用水與工業(yè)用水兩部分構(gòu)成，故水塔中水的存量是一個(gè)關(guān)于進(jìn)水級(jí)別與用水時(shí)間的函數(shù)．因此設(shè)進(jìn)水量選第n級(jí)，t小時(shí)后水塔中水的剩余量為：y=100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$，且0≤t≤16．解0＜y≤300，-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1＜n≤$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1對(duì)一切t∥（0，16]恒成立，即可得出結(jié)論．

解答 解析：設(shè)水塔進(jìn)水量選擇第n級(jí)，在t時(shí)刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100噸加進(jìn)水量10nt噸，減去生產(chǎn)用水10t噸，在減去工業(yè)用水W=100$\sqrt{t}$噸，即y=100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$（0＜t≤16）；…（4分）
若水塔中的水量既能保證該廠用水，又不會(huì)使水溢出，則一定有0＜y≤300．
即0＜100+10nt-10t-100$\sqrt{t}$≤300，…（6分）
所以-$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1＜n≤$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1對(duì)一切t∥（0，16]恒成立．…（8分）
因?yàn)?$\frac{10}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1=$-10（\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{2}$≤$\frac{7}{2}$，$\frac{20}{t}$+$\frac{10}{\sqrt{t}}$+1=$20（\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}$≥$\frac{19}{4}$，…（11分）
所以$\frac{7}{2}≤n≤\frac{19}{4}$，即n=4．即進(jìn)水選擇4級(jí)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用為例，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．著重考查數(shù)學(xué)建模的基本思想，怎么樣把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)求這個(gè)問(wèn)題的解．在解題過(guò)程中運(yùn)用了化二元為一元，化為基本初等函數(shù)的數(shù)學(xué)思想．