Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的方程；

（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)或；(2).

【解析】分析：（1）要求直線的方程，因?yàn)橹本�經(jīng)過點(diǎn)，所以應(yīng)求直線的斜率。應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求斜率。故先設(shè)切點(diǎn)為，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得，所以，因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以用兩點(diǎn)連線的斜率公式可得斜率為，所以，即，整理可得，化簡(jiǎn)得，解得或。分兩種情況討論，可求斜率，進(jìn)而求切線的方程。（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就是方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．故應(yīng)求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)性。求導(dǎo)得。因?yàn)?/span>的正負(fù)與的正負(fù)有關(guān)。 所以分① ② ③ 三種情況討論。

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式變?yōu)?/span>，由二次函數(shù)可知此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以。所以的正負(fù)只和的正負(fù)有關(guān)。所以由得，由得，進(jìn)而可得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。所以。因?yàn)?/span> ，所以在上由唯一的零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在上．再考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因?yàn)?/span>。當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)即時(shí)，，所以，取，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則，所以在上有唯一零點(diǎn)，進(jìn)而函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)。所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)， 。由，得或。

當(dāng)即時(shí)， ，所以在定義域上為減函數(shù)，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)即亦即 時(shí)，由，�？傻�在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>

所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)即亦即 時(shí)，由，。可得在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可得的取值范圍為．

詳解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以

由斜率知：，即，可得，，

，所以或

當(dāng)時(shí)，，切線的方程為，即，

當(dāng)時(shí)，，切線的方程為，即

綜上所述，所求切線的方程為或；

（2）由得：，代入整理得：，

設(shè)

則，由題意得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，由得，由得，即在上為減函 數(shù)，

在上為增函數(shù)，而，所以在上由唯一的零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在上．

若，則，取，

則，

所以在上有唯一零點(diǎn)，且該零點(diǎn)在上；

若，則，所以在上有唯一零點(diǎn)；

所以，有兩個(gè)零點(diǎn)．

③當(dāng)時(shí)，由，得或，

若，，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．

若，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又

所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．

若，則，易知在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，又，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述：的取值范圍為．