如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長的3，側(cè)棱AA1＝D是CB延長線上一點(diǎn)，且BD＝BC．

(Ⅰ)求證：直線BC1∥平面AB1D；

(Ⅱ)求二面角B1－AD－B的大�。�

(Ⅲ)求三棱錐C1－ABB1的體積．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：CD∥C1B1，又BD＝BC＝B1C1，∴四邊形BDB1C1是平行四邊形，∴BC1∥DB1．

　　又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直線BC1∥平面AB1D．……5分

　　(Ⅱ)解：過B作BE⊥AD于E，連結(jié)EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，

　　∴∠B1EB是二面角B1－AD－B的平面角，∵BD＝BC＝AB，∴E是AD的中點(diǎn)，

　　在Rt△B1BE中，∴∠B1EB＝60°．即二面角B1－AD－B的大小為60°…………10分

　　(Ⅲ)解法一：過A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，

　　∴AF⊥平面BB1C1C，且AF＝

　　即三棱錐C1－ABB1的體積為…………15分

　　解法二：在三棱柱ABC－A1B1C1中，

　　即為三棱錐C1－ABB1的體積．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都等于a，E是BB1的中點(diǎn)．
（1）求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值；
（2）求證：平面AEC1⊥平面ACC1A1；
（3）求點(diǎn)C1到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF的長是（　�。�
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鄭州二模）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OD∥平面ABC時(shí)，求
AOOB1
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分別為BB1，CC1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求多面體ABC-A1PC1的體積；
（Ⅱ）求A1Q與BC1所成角的大�。�

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