Question

（本小題滿分12分）. 若直線l：與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1)當(dāng)m=－1,c=－2時(shí)，求證：OA⊥OB；
(2)若OA⊥OB，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)。
(3)當(dāng)OA⊥OB時(shí)，試問(wèn)△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。

Answer 1

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由得
可知y₁+y₂=－2m  y₁y₂="2c  " ∴x₁+x₂=2m²—2c x₁x₂= c²,
(1)   當(dāng)m=－1,c=－2時(shí)，x₁x₂ +y₁y₂="0" 所以O(shè)A⊥OB.
(2)   當(dāng)OA⊥OB時(shí)，x₁x₂ +y₁y₂="0" 于是c²+2c="0" ∴c=－2(c=0不合題意),此時(shí)，直線l：過(guò)定點(diǎn)(2,0).
(3)   由題意AB的中點(diǎn)D(就是△OAB外接圓圓心)到原點(diǎn)的距離就是外接圓的半徑。
而(m²—c+)²－[(m²—c)²+m² ]= 由(2)知c=－2 
∴圓心到準(zhǔn)線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相離。

略