【答案】
分析:(Ⅰ)由a
2a
4=a
12q
4=q
4=16,q
2=4,知a
n=2
n-1,b
3=a
4=8.由6S
n=b
n2+3b
n+2,知(b
n+b
n-1)(b
n-b
n-1)=3(b
n+b
n-1),由此能夠求出b
n=3n-1.
(Ⅱ)由b
n=3n-1,知

=

,由此能求出滿足條件C
n>1的所有n的值為1,2,3,4.
(Ⅲ)假設{a
n}中存在三項p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a
p,a
q,a
r構成等差數(shù)列,所以2•2
q-1=2
p-1+2
r-1.2
q-p+1=1+2
r-p.因左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),故假設不成立,即不存在任意三項能構成等差數(shù)列.
解答:解:(Ⅰ)∵a
2a
4=a
12q
4=q
4=16,q
2=4,∵a
n>0,∴q=2,∴a
n=2
n-1∴b
3=a
4=8.∵6S
n=b
n2+3b
n+2 ①
當n≥2時,6S
n-1=b
n-12+3b
n-1+2 ②
①-②得6b
n=b
n2-b
n-12+3b
n-3b
n-1即(b
n+b
n-1)(b
n-b
n-1)=3(b
n+b
n-1)
∵b
n>0∴b
n-b
n-1=3,∴{b
n}是公差為3的等差數(shù)列.
當n=1時,6b
1=b
12+3b
1+2,解得b
1=1或b
1=2,
當b
1=1時,b
n=3n-2,此時b
3=7,與b
3=8矛盾;當b
1=3時b
n=3n-1,此時此時b
3=8=a
4,∴b
n=3n-1.
(Ⅱ)∵b
n=3n-1,∴

=

,∴c
1=2>1,c
2=

>1,c
3=2>1,

>1,

<1,
下面證明當n≥5時,c
n<1
事實上,當n≥5時,

=

<0
即c
n+1<c
n,∵

<1∴當n≥5時,C
n<1,
故滿足條件C
n>1的所有n的值為1,2,3,4.
(Ⅲ)假設{a
n}中存在三項p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使a
p,a
q,a
r構成等差數(shù)列,
∴2a
q=a
p+a
r,即2•2
q-1=2
p-1+2
r-1.∴2
q-p+1=1+2
r-p.
因左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),矛盾.
∴假設不成立,故不存在任意三項能構成等差數(shù)列.
點評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合,解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.