Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某個焦點為F，雙曲線G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某個焦點為F．
（1）請在______上補充條件，使得橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；友情提示：不可以補充形如a=

3

，b=1之類的條件．
（2）命題一：“已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，定點P（m，n）滿足n²-2pm＞0，以PF為直徑的圓交y軸于A、B，則直線PA、PB與拋物線相切”．命題中涉及了這么幾個要素：對于任意拋物線P（x，y），定點P，以PF為直徑的圓交F（0，1）軸于A、B，PA、PB與拋物線相切．試類比上述命題分別寫出一個關于橢圓C和雙曲線G的類似正確的命題；
（3）證明命題一的正確性．

Answer 1

（1）補充一：橢圓的離心率為e=

6

3

，且橢圓的長軸長為2

3

補充二：橢圓過(

3

，0)和(1，

6

3

)
補充三：橢圓上任一點到橢圓兩焦點的距離和為2

3

，且橢圓的一條準線長為

3 2

2

類似地還可以有很多補充，這里不再贅述，評卷員視實際情況給分，本題滿分（2分）
（2）命題一：已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某個焦點為F，定點P（m，n）滿足

m2

a2

+

n2

b2

＞1，
以PF為直徑的圓與圓x²+y²=a²交于A、B兩點，則PA、PB與橢圓相切．（5分）
命題二：已知雙曲線G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某個焦點為F，定點P（m，n）滿足

m2

a2

-

n2

b2

＜1，
以PF為直徑的圓與圓x²+y²=a²交于A、B兩點，則PA、PB與雙曲線相切．（9分）
（3）證明：以PF為直徑的圓的方程為(x-m)(x-

p

2

)+y(y-n)=0，
設A（0，y₁），B（0，y₂），
則y1(y1-n)+

1

2

pm=0，
直線PA的方程為y-y1=

n-y1

m

x=

p

2y1

x，即px-2y₁y+2y₁²=0
聯(lián)立

px-2y1y+2 y 21 =0 y2=2px

，
消去x得到y(tǒng)²-4y₁y+4y₁²=0，所以△=0，所以直線PA與拋物線相切．
同理可證PB與拋物線相切．（13分）