Question

數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，a_t=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設b_n=log₃a_n+1，T_n是數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項和，求T₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（I）可通過題設中的條件進行轉化，變?yōu)榭梢岳�用等比�?shù)列的定義建立方程求參數(shù)t的形式，
（II）求解本題需先研究b_n的通項公式，由于

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

，故可以采取裂項求和的方式求T₂₀₁₁的值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）（1分）
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，（4分）
所以當n≥2時，{a_n}是等比數(shù)列，
要使n≥1時，{a_n}是等比數(shù)列，則只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，從而t=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=n，（9分）
∴

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
T2011=

1

b1b2

+…+

1

b2011b2012

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2011

-

1

2012

)=

2011

2012

（12分）

點評：本題考點是等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用等比數(shù)列的定義建立方程求參數(shù)的值以及根據(jù)數(shù)列的通項公式選擇數(shù)列求和的方法，本題求和選擇了裂項求和的技巧，做完本題要記得探究一下裂項求和這一技巧適用的范圍，你能根據(jù)本題總結出來這一規(guī)律嗎？