解:(Ⅰ)∵f′(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1830.png)
-a=a(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/482.png)
)(x>0),
∴(1)當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)>0時(shí),解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)遞增;
令f′(x)<0時(shí),解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)遞減.
當(dāng)a<0時(shí),f′(x)=-a(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/16580.png)
),令f′(x)>0時(shí),解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)遞增;
令f′(x)<0時(shí),解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)遞減;
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,f′(x)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/805.png)
+2,
g(x)=x
3+x
2[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8830.png)
+f′(x)]=x
3+x
2[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8830.png)
+2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/805.png)
]=x
3+(2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8830.png)
)•x
2-2x,
∴g′(x)=3x
2+(4+m)x-2,
因?yàn)閷?duì)于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x
3+x
2[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8830.png)
+f′(x)]在區(qū)間[t,3]上總存在極值,
所以只需 g′(2)<0 g′(3)>0,解得-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9151.png)
<m<-9;
(Ⅲ)∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/133981.png)
-3-2lnx+2x+3=px-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46432.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11195.png)
-2lnx,
①當(dāng)p≤0時(shí),由x∈[1,e]得px-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/46432.png)
≤0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11195.png)
-2lnx<0.
所以,在[1,e]上不存在x
0,使得h(x
0)>f(x
0)成立;
②當(dāng)p>0時(shí),F(xiàn)′(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/79212.png)
,
∵x∈[1,e],
∴2e-2x≥0,px
2+p>0,F(xiàn)′(x)>0在[1,e]上恒成立,故F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增.
∴F(x)max=F(e)=pe-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/133982.png)
-4.
故只要pe-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/133982.png)
-4>0,,解得p>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/66473.png)
.所以p的取值范圍是[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/66473.png)
,+∞).
分析:(Ⅰ)求出f′(x)對(duì)a分類討論,由f′(x)>0時(shí),得到函數(shù)的遞增區(qū)間;令f′(x)<0時(shí),得到函數(shù)的遞減區(qū)間;
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,得到f′(2)=1求出a的值代入到g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/133983.png)
中化簡(jiǎn),求出導(dǎo)函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)在[t,3]上總存在極值得到 g′(t)<0,g′(3)>0 解出m的范圍記即可;
(Ⅲ)F(x由題意構(gòu)建新函數(shù)F(x))=f(x)-g(x),這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使函數(shù)F(x)在[1,e]上至少有一解的判斷.
點(diǎn)評(píng):(Ⅰ)考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的能力,會(huì)根據(jù)直線的傾斜角求直線的斜率,(III)此處重點(diǎn)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建一新函數(shù),并考查了函數(shù)F(x)在定義域下恒成立問(wèn)題數(shù)式中含字母系數(shù),需分類討論,屬于難題.