Question

【題目】已知數(shù)列滿足，且.

（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值.

【答案】(1)見解析;(2)最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對(duì)兩邊取倒數(shù)，移項(xiàng)即可得出，故而數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而可得出；（Ⅱ）根據(jù)不等式，，得，又，從而，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，綜上的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.

試題解析：（Ⅰ）由于，，則

∴，則，即為常數(shù)

又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

從而，即.

（Ⅱ）由即，得，

又，從而

故

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知向量， ，若函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面向量數(shù)量積公式可得，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的周期公式可得，利用區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，從而可得函數(shù)解析式；（Ⅱ）原方程可化為令，可得，整理，等價(jià)于在有解，利用一元二次方程根的分布求解即可.

試題解析：（Ⅰ） ，∴

當(dāng)時(shí)，此時(shí)單增，不合題意，∴；

∴，∴，在單減，符合題意，故

（Ⅱ），，

方程方程即為：

令，由

，得，于是

原方程化為，整理，等價(jià)于在有解

解法一：

（1）當(dāng)時(shí)，方程為得，故；

（2）當(dāng)時(shí)，在上有解在上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)上的值域；設(shè)，則，，，

設(shè)，在時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，∴的取值范圍是，

在上有實(shí)數(shù)解或

解法二：記

（1）當(dāng)時(shí)，，若解得不符合題意，所以；

（2）當(dāng)，方程在上有解；

①方程在上恰有一解；

②方程在上恰有兩解或；

綜上所述，的范圍是或.