Question

12．已知函數(shù)y=（x²+bx-4）log_ax（a＞0且a≠1）若對(duì)任意x＞0，恒有y≤0，則b^a的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 分類(lèi)討論a的范圍，把y≤0轉(zhuǎn)化為$lo{g}_{a}x，{x}^{2}+bx-4$的符號(hào)的判斷問(wèn)題即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=x²+bx-4，
①若0＜a＜1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，易知log_ax＞0，故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為g（x）≤0在（0，1）上恒成立，
則有g(shù)（0）≤0，g（1）=b-3≤0，解得：b≤3；
當(dāng)x≥1時(shí)，log_ax≤0，此時(shí)不等式可轉(zhuǎn)化為g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（1）=b-3≥0，即b≥3，
∴b=3，
∵0＜a＜1，
∴1＜b^a＜3，
②若a＞1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，log_ax＜0，故g（x）≥0恒成立，
但g（0）=-4＜0，故不成立；
由此可知當(dāng)a＞1時(shí)，不等式不可能恒成立．
綜上可知b^a∈（1，3）．
故答案為：（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立問(wèn)題以及分類(lèi)討論的思想方法．通過(guò)分類(lèi)討論把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次不等式問(wèn)題是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．