Question

有四個(gè)數(shù)a₁、a₂、a₃、a₄，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且a₁+a₄，a₂+a₃是方程x²-21x+108=0的兩根，a₁+a₄＞a₂+a₃，求這四個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：首先通過(guò)解方程求出a₁+a₄，a₂+a₃的值，再結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得到2a₂=a₁+a₃，a₃²=a₂a₄，消元解方程即可．

解答：解：∵a₁+a₄，a₂+a₃是方程x²-21x+108=0的兩根，a₁+a₄＞a₂+a₃，
∴解得a₁+a₄=12，a₂+a₃=9，
又∵2a₂=a₁+a₃，a₃²=a₂a₄，
∴a₃=9-a₂，a₁=3a₂-9，a₄=21-3a₂；
∴（9-a₂）=a₂（21-3a₂），
解得a₂=3或a₂=

27

4

，
當(dāng)a₂=3時(shí)，a₁=0，a₃=6，a₄=12；
a₂=

27

4

時(shí)，a₁=

45

4

，a₃=

9

4

，a₄=

3

4

．
滿(mǎn)足a₁+a₄＞a₂+a₃；
∴四數(shù)分別為0，3，6，12．或

45

4

，

27

4

，

9

4

，

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)與方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高．