Question

8、已知函數(shù)f（x），g（x）在R上有定義，對(duì)任意的x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）•f（y），且f（1）≠0，則f（x）的奇偶性是

奇函數(shù)

．

Answer 1

分析：本題為抽象函數(shù)的奇偶性的判斷問(wèn)題，利用奇偶性的定義和賦值法即可．先令y=x可求出f（0），再令x=0可求出g（0），再令x=0即可判斷出．

解答：解：令y=x得f（0）=f（x）g（x）-g（x）•f（x）=0，
令y=0，得f（x）=f（x）g（0）-g（x）•f（0）=f（x）g（0），所以g（0）=1，
令x=0，得f（-y）=f（0）g（y）-g（0）•f（y）=-g（0）•f（y）=-f（y），
因?yàn)閥為任意實(shí)數(shù)，故f（x）為奇函數(shù)．
故答案為：奇函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)奇偶性的判斷和賦值法，解決本題的關(guān)鍵是如何正確賦值，湊用奇偶性定義．