Question

已知函數(shù)f（x）=5

3

cosxsinx+5cos2x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先運(yùn)用三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式及二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+ρ）+b的形式，根據(jù)周期公式可求出最小正周期；通過正弦函數(shù)的值域直接求出f（x）的最值．
（Ⅱ）將2x+

π

6

看做一個(gè)整體，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），進(jìn)而求出x的范圍，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=5

3

cosxsinx+5cos2x+1=

5 3

2

sin2x+5•

1+cos2x

2

+1=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
函數(shù)f（x）的周期T=

2π

2

=π，
函數(shù)f（x）的最大值為

17

2

和最小值-

13

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

．
再由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．當(dāng)k=0時(shí)，-

π

3

≤x≤

π

6

，所以0≤x≤

π

6

；
k=1時(shí)

2π

3

≤x≤

7π

6

，∴

2π

3

≤x≤π，
所以y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法、正弦函數(shù)的定義域和值域和單調(diào)區(qū)間的求法，一般都是將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+ρ）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題．