Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，已知當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)的解析式f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則根據(jù)x∈[-1，0]時(shí)的解析式f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)，構(gòu)造關(guān)于a的方程，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）在[0，1]上的解析式．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，我們用換元法可將函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的形式，我們分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
又∵f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
∴f(0)=

1

40

-

a

20

=1-a=0
解得a=1
即當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)的解析式f(x)=

1

4x

-

1

2x

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，-x∈[-1，0]
∴f(-x)=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x=-f（x）
∴f（x）=2^x-4^x（x∈[0，1]）
（2）由（1）得當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-4^x
令t=2^x（t∈[1，2]）
則2^x-4^x=t-t²，
令y=t-t²（t∈[1，2]）
則易得當(dāng)t=1時(shí)，y有最大值0
f（x）在[0，1]上的最大值為0

點(diǎn)評：本題的知識點(diǎn)是奇函數(shù)，函數(shù)的最值及其幾何意義，其中根據(jù)定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，從而構(gòu)造方程法度出參數(shù)a的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．