Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F（0，1），準線與y軸的交點為E．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）點P是拋物線C上的一個動點，拋物線在點P處的切線為l，過點P與l垂直的直線交拋物線C于另一點Q，設(shè)PE，QE的斜率分別為k₁，k₂，是否存在點P使得3k₁+2k₂=0？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知可得p=2，即可得出拋物線C的方程．
（II）假設(shè)存在點P使得3k₁+2k₂=0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由y=

1

4

x 2可得y′=

1

2

x，直線l的斜率

1

2

x1，由l⊥PQ，直線PQ的斜率-

2

x1

，可得直線PQ方程y=-

2

x1

(x-x1)+

1

4

x12，與拋物線方程聯(lián)立可得x2+

8

x1

x-x12-8=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計算公式解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得拋物線C的方程為：x²=4y．
（Ⅱ）假設(shè)存在點P使得3k₁+2k₂=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由y=

1

4

x 2可得y′=

1

2

x，
∴直線l的斜率

1

2

x1，
∴x₁≠0．
由l⊥PQ，直線PQ的斜率-

2

x1

，
∴直線PQ方程y=-

2

x1

(x-x1)+

1

4

x12，
聯(lián)立方程

y=- 2 x1 (x-x1)+ 1 4 x12 x2=4y

，
代入消元并整理得得x2+

8

x1

x-x12-8=0，
∴x1+x2=-

8

x1

，x1x2=-

x

2 1

-8，
∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

，
3k₁+2k₂=0，
∴3

y1+1

x1

+2

y2+1

x2

=0，
∴3y₁x₂+2y₂x₁+3x₂+2x₁=0，

1

4

x1x2(3x1+2x2)+(3x2+2x1)=0，
將x1+x2=-

8

x1

，x2=-

8

x1

-x1，x1x2=-

x

2 1

-8，代入消去x₂并整理得

x

4 1

-4

x

2 1

-32=0，(

x

2 1

+4)(

x

2 1

-8)=0，
∴x12=8，
∴存在P(±2

2

，2)．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線相互垂直與斜率的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．