Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列．

求證：(a＋b)^－1＋(b＋c)^－1＝3(a＋b＋c)^－1

Answer 1

答案：
解析：

探究：分析法：結(jié)論是關(guān)于△ABC三邊的等式． 　　要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 　　即證：， 　　＝3， 　　＝1， 　　只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2． 　　猜想可能用余弦定理． 　　綜合法：題目的條件是關(guān)于△ABC三內(nèi)角的． 　　∵△ABC三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， 　　∴B＝60°． 　　由余弦定理，有 　　b2＝c2＋a2－2cacos60°， 　　即b2＝c2＋a2－ac， 　　c2＋a2＝ac＋b2， 　　此式即分析中欲證之等式． 　　證明：∵△ABC三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， 　　∴B＝60°． 　　由余弦定理，有 　　b2＝c2＋a2－2cacos60°， 　　得c2＋a＝ac＋b2， 　　兩邊加ab＋bc得 　　c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 　　兩邊除以(a＋b)(b＋c)得 　　＝1， 　　∴＝3， 　　即， 　　∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1． 　　規(guī)律總結(jié)：綜合法和分析法各有優(yōu)缺點(diǎn)．從尋求解題思路來(lái)看，綜合法由因?qū)Ч�，往往枝�?jié)橫生，不容易奏效；分析法執(zhí)果索因，常常根底漸近，有希望成功．就表達(dá)證明過(guò)程而論，綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰；分析法敘述繁瑣，文辭冗長(zhǎng)．也就是說(shuō)分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解答或證明過(guò)程．有時(shí)要把分析和綜合結(jié)合起來(lái)交替使用，才能成功．