Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²+sinx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵cos²=（1+cosx），
∴f（x）=2cos²+sinx=sinx+cosx+1=sin（x+）+1 …（4分）
∴f（x）的最小正周期T=2π…（5分）
由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=sin（x+）+1．
∵x∈[0，π]，得 ≤x+，
∴當x+=時，即x=時，sin（x+）=1達到最大值，此時f（x）取得最大值為；
當x=π時，sin（x+）=-達到最小值，此時f（x）取得最小值為0．
綜上所述，得[f（x）]_max=f（）=，[f（x）]_min=f（π）=0．…（13分）
分析：（I）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（x+）+1，再結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）根據(jù)題意，得到x+∈[，]，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象在區(qū)間[，]上的單調(diào)性，即可得到f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值．
點評：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期，并求在閉區(qū)間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．