Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F為CE的中點．
（I）求證：AF⊥CD；
（II）求平面ACD與平面BCE夾角的大��；
（III）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（I）取CD的中點O，連接AO、OF，則OF∥DE，結合AC=AD=CD=DE=2，DE∥AB，我們易得到DE⊥平面ACD，進而得到CD⊥平面AOF，由線面垂直的性質，我們可以得到AF⊥CD；
（II）以O為坐標原點，分別以OF、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，求出各個頂點的坐標，進而求出平面ACD的法向量與平面BCE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到平面ACD與平面BCE夾角的大��；
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高，求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）取CD的中點O，連接AO、OF，則OF∥DE
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD，OF⊥CD，又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF?平面AOF
∴AF⊥CD．（4分）
解：（ II）以O為坐標原點，分別以OF、OD、OA為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，如圖
所以A(0，0，

3)，

B(1，0，

3

)，C(0，-1，0)，D(0，1，0)，E(2，1，0)，

CB

=(1，1，

3

)，

CE

=(2，2，0)，
設

n

=(x，y，z)是平面BCE的一個法向量，
由

n ⊥ CB n ⊥ CE

得

2x+2y=0 x+y+ 3 z=0

取

n

=(1，-1，0)，（6分）
易知

m

=(1，0，0)是平面ACD的一個法向量，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2 •1

=

2

2

，
于是平面ACD與平面BCE的夾角等于

π

4

．（8分）
（III）作CG⊥AD于G，可知CG是C-ABED的高h，易求h=

3

，（10分）
VABCDE=

1

3

SABED•h=

1

3

•

1

2

(AB+DE)•AD•

3

=

3

（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及二面角的平面角及求法，棱錐的體積，在使用向量法求二面角的大小時，建立坐標系，求出平面的法向量是關鍵．