Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點，拋物線上一點到焦點的距離為，若點為拋物線準(zhǔn)線上的動點，給出以下命題：

①當(dāng)為正三角形時，的值為；

②存在點，使得；

③若，則等于；

④的最小值為，則等于或.

其中正確的是（ ）

A.①③④B.②③C.①③D.②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

對于①可知，當(dāng)為正三角形時與準(zhǔn)線垂直，畫出圖形結(jié)合幾何關(guān)系即可求得的值；對于②根據(jù)向量關(guān)系可知，結(jié)合點的位置即可判斷；對于③，作出幾何圖形，根據(jù)線段比例關(guān)系即可求得的值；對于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點，連接交準(zhǔn)線于，可知即為的最小值，根據(jù)線段幾何關(guān)系及最小值即可求得的值.

對于①，當(dāng)為正三角形時，如下圖所示，

拋物線的準(zhǔn)線交軸于，

,由拋物線定義可知，則與準(zhǔn)線垂直，

所以，

則，所以,

而，即，所以①正確；

對于②，假設(shè)存在點，使得，即，

所以點為的中點，

由拋物線圖像與性質(zhì)可知，為拋物線上一點，為焦點，線段在軸右側(cè)，

點在拋物線準(zhǔn)線上，在軸左側(cè)，因而不可能為的中點，所以②錯誤；

對于③，若，則，作垂直于準(zhǔn)線并交于，準(zhǔn)線交軸于，如下圖所示：

由拋物線定義可知，

根據(jù)相似三角形中對應(yīng)線段成比例可知，即，

解得，所以③正確；

對于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點，連接交準(zhǔn)線于，作垂直于準(zhǔn)線并交于，作垂直于軸并交于，如下圖所示：

根據(jù)對稱性可知，此時即為的最小值，

由拋物線定義可知，所以的橫坐標(biāo)為，

代入拋物線可知，

的最小值為，，

則，即，

化簡可得，即，

解得或，所以④正確；

綜上所述，正確的為①③④.

故選：A.