【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，對其進(jìn)行求導(dǎo)，再對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合，從而證得，即原不等式成立；

（2）先由特殊值求得，再用反證法證明該范圍能使時(shí)不等式恒成立.由（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為.由得，則可構(gòu)造函數(shù)，證明.利用導(dǎo)函數(shù)，以及重要不等關(guān)系“”分別證明時(shí)和時(shí)，，則不等式得證，從而求得.

解：（1）令

，

所以，

令，

，

則成立，在單調(diào)遞增，

，即成立，

所以在單調(diào)遞增，得，

即當(dāng)時(shí)，，得證；

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，

令得，所以，

下證當(dāng)時(shí)原不等式成立

由（1）知當(dāng)時(shí)，

只需證明，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

故只需證明，

令，

所以，

①當(dāng)時(shí)，

成立，在單調(diào)遞增，

成立，

②當(dāng)時(shí)，

由不等式知，

所以成立，

綜上原不等式得證，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒肺炎正在全球蔓延，對世界經(jīng)濟(jì)影響嚴(yán)重，中國疫情防控，復(fù)工復(fù)學(xué)恢復(fù)經(jīng)濟(jì)成為各國的榜樣，綿陽某商場在五一勞動節(jié)期間舉行促銷活動，根據(jù)市場調(diào)查，該商場決定從3種服裝商品、2種家電、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動.

（1）試求選出的3種商品至少有2種服裝商品的概率；

（2）商場對選的A商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高300元，同時(shí)允許顧客有3次抽獎的機(jī)會，若中獎，則每次中獎都可獲得一定數(shù)額的獎金，假設(shè)顧客每次抽獎時(shí)獲獎與否是等概率的，請問：商場應(yīng)將中獎獎金數(shù)額最高定為多少元，才能使促銷方案對自己有利？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，其極坐標(biāo)為.設(shè)射線與曲線相交于，兩點(diǎn)，與曲線相交于，兩點(diǎn).

（1）求，的值；

（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級，各等級人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級轉(zhuǎn)換賦分．

（1）某校生物學(xué)科獲得等級的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分

91

90

89

88

87

85

83

82

轉(zhuǎn)換分

100

99

97

95

94

91

88

86

人數(shù)

1

1

2

1

2

1

1

1

現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請解決下列問題：

①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時(shí)的值．

附：若，則，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在函數(shù)的圖象上任意取定兩點(diǎn)，，記直線的斜率為，求證：存在唯一，使得成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知真命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”．

（Ⅰ）將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求此時(shí)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);

（Ⅱ）求函數(shù)圖象對稱中心的坐標(biāo);

（Ⅲ）已知命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)和,使得函數(shù)是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改,使之成為真命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)（）一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)一次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．

（1）的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當(dāng)越大時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；

（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年泉州市農(nóng)村電商發(fā)展迅猛，成為創(chuàng)新農(nóng)產(chǎn)品交易方式、增加農(nóng)民收入、引導(dǎo)農(nóng)業(yè)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革、促進(jìn)鄉(xiāng)村振興的重要力量，成為鄉(xiāng)村振興的新引擎.2019年大學(xué)畢業(yè)的李想，選擇回到家鄉(xiāng)泉州自主創(chuàng)業(yè)，他在網(wǎng)上開了一家水果網(wǎng)店.2019年雙十一期間，為了增加水果銷量，李想設(shè)計(jì)了下面兩種促銷方案：方案一：購買金額每滿120元，即可抽獎一次，中獎可獲得20元，每次中獎的概率為（），假設(shè)每次抽獎相互獨(dú)立.方案二：購買金額不低于180元時(shí)，即可優(yōu)惠元，并在優(yōu)惠后的基礎(chǔ)上打九折.

（1）在促銷方案一中，設(shè)每10個(gè)抽獎人次中恰有6人次中獎的概率為，求的最大值點(diǎn)；

（2）若促銷方案二中，李想每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的八折，求的最大值；

（3）以（1）中確定的作為的值，且當(dāng)取最大值時(shí)，若某位顧客一次性購買了360元，則該顧客應(yīng)選擇哪種促銷方案？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)動點(diǎn)（其中為坐標(biāo)系原點(diǎn)），點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離大1，動點(diǎn)的軌跡方程為.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn).

①若，求直線的直線方程；

②分別過點(diǎn)，作曲線的切線且交于點(diǎn)，是否存在以為圓心，以為半徑的圓與經(jīng)過點(diǎn)且垂直于直線的直線相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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