考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)的圖象與圖象變化
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由函數(shù)的解析式可得1-a
x>0,求得的范圍,可得函數(shù)的定義域.由1-a
x <1,求得f(x)的值域.再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)的圖象位于第三象限.
(2)根據(jù)a>1,函數(shù)t=1-a
x是(-∞,0)上的減函數(shù),可得f(x)=log
a(1-a
x)的單調(diào)性.
(3)求得函數(shù)f(x)的反函數(shù)還是它本身,可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
(4)由題意可得log
a(1-a
x)+x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,化簡(jiǎn)可得 a
4•a
x-a
4•a
2x-1=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x
1、x
2,利用韋達(dá)定理可得
ax1•
ax2=
即
ax1+x2=a
-4,從而求得x
1+x
2 的值.
解答:
解:(1)由于f(x)=log
a(1-a
x),其中a>1,
由1-a
x>0,求得x<0,故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,0).
由1-a
x <1,可得f(x)<log
a1=0,故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞,0).
再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)的圖象位于第三象限.
(2)由于a>1,函數(shù)t=1-a
x是(-∞,0)上的減函數(shù),
故f(x)=log
a(1-a
x)是(-∞,0)上的減函數(shù).
(3)令y=log
a(1-a
x),求得a
x =1-a
y,即x=log
a(1-a
y),
故函數(shù)f(x)的反函數(shù)為y=log
a(1-a
x).
再根據(jù)函數(shù)f(x)的反函數(shù)還是它本身,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
(4)由題意可得log
a(1-a
x)+x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即1-a
x=a
-x-4 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
即 a
4•a
x-a
4•a
2x-1=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x
1、x
2,則
ax1+
ax2=1,
ax1•
ax2=
,∴
ax1+x2=a
-4,
∴x
1+x
2 =-4.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的定義域和值域,二次函數(shù)的性質(zhì)、韋達(dá)定理,屬于中檔題.