Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x），其中a＞1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，值域，并確定f（x）的圖象在哪個(gè)象限；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）證明y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
（4）設(shè)方程f（x）+x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，求x₁+x₂．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得1-a^x＞0，求得的范圍，可得函數(shù)的定義域．由1-a^x ＜1，求得f（x）的值域．再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)的圖象位于第三象限．
（2）根據(jù)a＞1，函數(shù)t=1-a^x是（-∞，0）上的減函數(shù)，可得f（x）=log_a（1-a^x）的單調(diào)性．
（3）求得函數(shù)f（x）的反函數(shù)還是它本身，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（4）由題意可得log_a（1-a^x）+x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)可得 a⁴•a^x-a⁴•a^2x-1=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，利用韋達(dá)定理可得ax1•ax2=

1

a4

 即 ax1+x2=a^-4，從而求得x₁+x₂ 的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=log_a（1-a^x），其中a＞1，
由1-a^x＞0，求得x＜0，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）．
由1-a^x ＜1，可得f（x）＜log_a1=0，故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，0）．
再根據(jù)函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)的圖象位于第三象限．
（2）由于a＞1，函數(shù)t=1-a^x是（-∞，0）上的減函數(shù)，
故f（x）=log_a（1-a^x）是（-∞，0）上的減函數(shù)．
（3）令y=log_a（1-a^x），求得a^x =1-a^y，即x=log_a（1-a^y），
故函數(shù)f（x）的反函數(shù)為y=log_a（1-a^x）．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的反函數(shù)還是它本身，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（4）由題意可得log_a（1-a^x）+x+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即1-a^x=a^-x-4 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即 a⁴•a^x-a⁴•a^2x-1=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，則ax1+ax2=1，ax1•ax2=

1

a4

，∴ax1+x2=a^-4，
∴x₁+x₂ =-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)、韋達(dá)定理，屬于中檔題．