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如圖，三棱柱ABD－A1B1D1是長方體ABCD－A1B1C1D1沿對角面BDD1B1所截而成，AA1＝A1D1＝AB，點P在A1B1上，且A1P＝A1B1，求異面直線AP與A1D所成角的余弦值．

答案：
解析：

　　解：如圖，以側面BDD1B1為連接面補上一個相同的三棱柱使之還原成長方體．

　　連接B1C，則B1C∥A1D．在AB上取點Q，使BQ＝A1P．

　　因為A1B1＝AB，所以PB1＝AQ．

　　又因為PB1∥AQ，

　　所以四邊形APB1Q是平行四邊形，

　　所以AP∥QB1．

　　連接CQ，設AB＝4，由題可知，QB＝1，BB1＝BC＝2，

　　所以QB1＝QC＝，B1C＝2．

　　在等腰三角形QB1C中，取B1C的中點O，連接QO，

　　則QO⊥B1C，B1O＝．

　　所以，在Rt△QOB1中，

　　cos∠QB1C＝cos∠QB1O＝＝＝．

　　點評：本題中給出的幾何體是由同學們所熟知的長方體切割而成，所以通過補體還原可幫助解題．長方體中有很多平行關系，它使直線的平移更直觀、方便．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•陜西）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=
2
．
（Ⅰ） 證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•安慶三模）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面ABC垂直，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G
（1）求證：AD⊥A1B；
（2）求A1B與平面ABD所成角的大小．

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科目：高中數學 來源：黑龍江省大慶實驗中學2011屆高三上學期期末考試數學理科試題 題型：044

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，且AA1⊥平面ABC，D是側棱CC1的中點，直線AD與側面BB1C1C所成的角為45°．

(Ⅰ)求二面角A―BD―C的余弦值；

(Ⅱ)求點C到平面ABD的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

   (Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;

   (Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.

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