四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝.

(Ⅰ)證明：SA⊥BC；

(Ⅱ)求直線SD與平面SAB所成角的大小.

解法一：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因為，所以，

又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，

故，由，，，得

，．

的面積．

連結(jié)AB，得的面積

設(shè)到平面的距離為，由于，得

，

解得．

設(shè)與平面所成角為，則．

所以，直線與平面所成的我為．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因為，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，

，，，，，

，，所以．

（Ⅱ）取中點，，

連結(jié)，取中點，連結(jié)，．

，，．

，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．

所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．

，．

，，

所以，直線與平面所成的角為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正四棱錐S－ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆福建省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90 ，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3.

（1）求證：平面SBC⊥平面SAB；

（2）若E、F分別為線段BC、SB上的一點（端點除外），滿足.（）

①求證：對于任意的，恒有SC∥平面AEF；

②是否存在，使得△AEF為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的值；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)高三上學(xué)期期末調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA ="AB=BC" =2，AD =1．M是棱SB的中點．

（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為，求sin的最大值，

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年遼寧省高一第三次月考數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

在正四棱錐S－ABCD中，E是BC的中點，P點在側(cè)面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持PEAC.則動點P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最有可能的是( 　 ).

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年龍東南六校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。

（Ⅰ）求證：EF∥平面SAD；

（Ⅱ）設(shè)SD＝2CD，求二面角A－EF－D的正切值；

 

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