Question

20．定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f（-1）=0，當(dāng)x＞0時，xf'（x）-f（x）＜0則不等式f（x）＜0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由已知當(dāng)x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，可判斷函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＜0等價于x•g（x）＜0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=$\frac{xf'（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時總有xf'（x）-f（x）＜0成立，
即當(dāng)x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，
又∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），
∴g（-x）=g（x）
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)．
又∵g（1）=0，
∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得
不等式f（x）＜0?x•g（x）＜0，可得不等式f（x）＜0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案為（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．