Question

已知函數的圖象，它與y軸的交點為（），它在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求這個函數的單調遞增區(qū)間和對稱中心．
（3）該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

解：（1）由題意可得A=3，由在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）得，
∴T=4π從而
又圖象與y軸交于點，
∴?
由于，
∴
函數的解析式為
（2）因為∈，k∈Z，所以x∈，
函數的單調遞增區(qū)間：；
因為，解得x=，所以函數的對稱中心：
（3）將函數y=sinx的圖象向左平移個單位，再將所得函數的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的兩倍，最后將所得函數的圖象橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的3倍得到函數的圖象．
分析：（1）通過函數的最大值點求出A，最大值與最小值的橫坐標求出函數的周期，然后求出ω，利用函數經過（），以及φ的范圍，求出φ，然后得到函數y=f（x）的解析式；
（2）通過（1）的函數的解析式，利用正弦函數的單調增區(qū)間好對稱中心，直接求這個函數的單調遞增區(qū)間和對稱中心．
（3）通過左加右減的原則，可由y=sinx（x∈R）的圖象經過向左平移和縱坐標伸長伸的變換得到函數的解析式．
點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函數的單調增區(qū)間的求法，考查計算能力，注意平移時x的系數，避免錯誤．