Question

某人計劃間種植n棵樹，已知每棵樹是否成活互不影響，成活率為p（0＜p＜1），設(shè)ξ表示他所種植的樹中成活的棵數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ，方差為Dξ．
（1）若n=1，求Dξ的最大值；
（2）已知Eξ=3，標(biāo)準(zhǔn)差σξ=

3

2

，求n，p的值并寫出ξ的分布列．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）ξ表示他所種植的樹中成活的棵數(shù)，當(dāng)n=1，ξ的可能取值是0，1，寫出ξ的分布列，根據(jù)分布列做出期望值，代入方差的公式求出方差，根據(jù)二次函數(shù)的最值求出結(jié)果．
（2）根據(jù)每棵樹是否成活互不影響，成活率為p得到ξ～B（n，p），根據(jù)Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），求出P的值，ξ表示他所種植的樹中成活的棵數(shù)，則變量的可能取值是0，1，2，3，4，根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式寫出變量的分布列．

解答： 解：（1）由題意知ξ表示他所種植的樹中成活的棵數(shù)，
當(dāng)n=1，ξ=0，1，于是ξ的分布列為：

ξ	0	1
P	1-p	p

∴Eξ=0×（1-p）+1×p=p．
∴Dξ=（0-p）²•（1-p）+（1-p）²•p=p-p²=-（p-

1

2

）²+

1

4

，
即當(dāng)p=

1

2

時，Dξ有最大值

1

4

．
（2）每棵樹是否成活互不影響，成活率為p得到ξ～B（n，p），
∴Eξ=np，Dξ=npq=np（1-p），
∴np=3，

np(1-p)

=

3

2

，
解得p=

3

4

，n=4．
∴P（ξ=k）=

C

k 4

(

3

4

)k(1-

3

4

)4-k，（k=0，1，2，3，4），
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 256	12 256	54 256	108 256	81 256

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，考查n次獨立重復(fù)試驗恰好發(fā)生k次的實驗，考查二次函數(shù)的最值問題，考查利用概率知識解決實際問題，是一個綜合題目．