Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求證：OE∥平面ACD
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接OE，利用線面平行的判定定理即可證出OE∥平面ACD；
（Ⅱ）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設(shè)知AO=1，CO=

3

，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能夠證明AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）取AC的中點(diǎn)M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦．

解答：解：（I）證明：連結(jié)OE，∵O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，
∴OE∥CD，又OE?平面ACD，CD?平面ACD，
∴OE∥平面ACD；
（II）證明：連結(jié)OC∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴AO⊥OC．
又∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD；
（III）取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，
由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB，OE∥DC，
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．
在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴OM=

1

2

AC=1，
∴OM=OE取EM的中點(diǎn)N，則ON⊥EM，
∴cos∠OEM=

EN

OE

=

2

4

，
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為

2

4

．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系及空間角的計算，考查空間想象力和等價轉(zhuǎn)化能力，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題．