Question

在△ABC中，B（-

5

，0）、C（

5

，0），AB、AC邊上的中線長之和為9．
（Ⅰ）求△ABC重心G的軌跡方程
（Ⅱ）設P為（1）中所求軌跡上任意一點，求cos∠BPC的最小值．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據三角形重心的性質可得G到B、C兩點的距離之和等于20，因此G的軌跡為以B、C為焦點的橢圓．利用題中數據加以計算可得相應的橢圓方程，注意到點G不能落在x軸上得到答案．
（Ⅱ）由題意，P為橢圓短軸頂點時，∠BPC最大，cos∠BPC最�。�

解答： 解：（Ⅰ）設AC、AB邊上的中線分別為CD、BE
∵BG=

2

3

BE，CG=

2

3

CD
∴BG+CG=

2

3

（BE+CD）=6（定值）
因此，G的軌跡為以B、C為焦點的橢圓，2a=6，c=

5

∴a=3，b=2，可得橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1
∵當G點在x軸上時，A、B、C三點共線，不能構成△ABC
∴G的縱坐標不能是0，可得△ABC的重心G的軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1=1（y≠0）；
（Ⅱ）由題意，P為橢圓短軸頂點時，∠BPC最大，cos∠BPC最�。�
∴cos∠BPC=

32+32-(2 5 )2

2×3×3

=-

1

9

點評：本題給出三角形兩條中線長度之和等于定值，求重心G的軌跡方程．著重考查了三角形重心的性質、橢圓的定義與標準方程和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．