Question

設(shè){a_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比為q，S_n是其前n項(xiàng)和．
（1）若q=2，且S₁-2，S₂，S₃成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得S₂-S₁=S₃-S₂-2，即a₂=a₃-2，將q=2代入可求得a₁=1，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分公比q=1與公比q≠1，分別計(jì)算-S_n•S_n+2≠0即可證明，任意正整數(shù)n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比數(shù)列．
解答：解：（1）由已知得2S₂=S₁-2+S₃，
∴S₂-S₁=S₃-S₂-2，
∴a₂=a₃-2，代入q=2得2a₁=4a₁-2，
∴a₁=1，a_n=2^n-1，…7分
證明：（2）當(dāng)公比q=1時(shí)，S_n=na₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n+2=（n+2）a₁，
-S_n•S_n+2=（n²+2n+1）-n（n+2）=＞0，…9分
當(dāng)公比q≠1時(shí)，-S_n•S_n+2=-•=q²＞0，
綜上所述，-S_n•S_n+2＞0，
∴任意正整數(shù)n，S_n，S_n+1，S_n+2不成等比數(shù)列…14分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，考查分析轉(zhuǎn)化與分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．