Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓的兩個焦點，M為橢圓上任意一點，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，點F₂（c，0）到直線l：x=

a2

c

的距離為3．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在以原點為圓心的圓，是該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程，若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用等差數(shù)列的性質(zhì)和橢圓的定義和點到直線的距離公式，可得a=2，c=1，進(jìn)而得到b，即得橢圓方程；
（2）假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為x²+y²=r²（0＜r＜

3

）．當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+t，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運用韋達(dá)定理，以及向量垂直的條件得到t²=

12

7

（1+k²），再由直線和圓相切的條件，求出r，再檢驗，再討論k不存在的情況，容易得到結(jié)論；
（3）k不存在，容易得到定值，若k存在，則將橢圓方程化為極坐標(biāo)方程，由于OA⊥OB，可設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，

π

2

+θ），運用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系，即可得證．

解答： 解：（1）|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，則|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=4c，
由橢圓定義，可得，2a=4c，即a=2c，
又點F₂（c，0）到直線l：x=

a2

c

的距離為3，即有

a2

c

-c=3，解得a=2，c=1，b=

3

，
則橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為x²+y²=r²（0＜r＜

3

）．
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+t，
由

y=kx+t x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8kt

3+4k2

，x₁x₂=

4t2-12

3+4k2

，①
∵

OA

⊥

OB

即

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
即（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0．     ②
將①代入②，得（1+k²）

4t2-12

3+4k2

-

8k2t2

3+4k2

+t²=0，
即t²=

12

7

（1+k²）．
∵直線AB與圓x²+y²=r²相切，
∴r=

|t|

1+k2

=

12 7 (1+k2)

1+k2

=

84

7

∈（0，

3

），
∴存在圓x²+y²=

12

7

滿足條件．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，易得x₁²=x₂²=

12

7

，
代入橢圓的方程，得y₁²=y₂²=

12

7

，滿足

OA

⊥

OB

．
綜上所述，存在圓心在原點的圓x²+y²=

12

7

滿足條件．
（3）證明：由（2）若k不存在，則可設(shè)A（

84

7

，

84

7

），B（

84

7

，-

84

7

），
即有

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

7

12

；
若k存在，則將橢圓方程化為極坐標(biāo)方程，即有3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
即有ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

=

12

3+sin2θ

，
由于OA⊥OB，可設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，

π

2

+θ），即有ρ₁²=

12

3+sin2θ

，ρ₂²=

12

3+cos2θ

，
則有

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

3+sin2θ

12

+

3+cos2θ

12

=

7

12

．
故

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值，且為

7

12

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用把直線和圓錐曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，考查了計算能力，屬高考試卷中的壓軸題．