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【題目】如圖，在直三棱柱中， 分別是棱的中點，點在線段上（包括兩個端點）運動．

（1）當為線段的中點時，

①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）①見解析；②；（2）.

【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，

由向量法證明線線垂直和計算二面角。（2）設（），設直線與平面所成的角為由向量坐標法求得

設設由導數法求得范圍。

以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，

則 ，.

因為分別是棱的中點，所以

（1）當為線段的中點時，則

①因為 所以即

②因為設平面的一個法向量為

由 可得，取，則所以

又因為是平面的一個法向量，

設平面與平面所成的二面角的平面角為，

則 .因為為銳角，所以

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為

（2）因為在線段上，所以設（），解得，

所以.

因為設平面的一個法向量為

由可得，取則所以

設直線與平面所成的角為

則

因為所以設則

所以，設

則，設可求得的取值范圍為，

進一步可求得的取值范圍為

所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.

練習冊系列答案
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C.充分必要條件
D.既不充分又不必要條件

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(1)根據以上數據建立一個2×2的列聯(lián)表；

(2)根據所給的獨立檢驗臨界值表，你最多能有多少把握認為性別與休閑方式有關系？附：獨立檢驗臨界值表

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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記f(x)＝cos x＋isin x．

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A.
B.
C.
D.

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A.48ln2
B.40ln2
C.32ln2
D.24ln2

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