Question

12．已知函數(shù)f（x）=asinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），若函數(shù)f（x）在（0，π）的零點個數(shù)為2個，則當x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最大值為a-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 討論a＞0時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個零點，
在區(qū)間（$\frac{π}{2}$，π）上有且只有一個零點；求出f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；
a≤0時，函數(shù)f（x）在x∈（0，π）上無零點，從而求出f（x）的最大值．

解答 解：因為函數(shù)f（x）=asinx-$\frac{3}{2}$（a∈R），
且x∈（0，π）時，sinx∈（0，1]；
所以當a＞0時，asinx∈（0，a]，
y=f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一個零點；
y=f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{2}$，π）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上有且只有一個零點；
所以a-$\frac{3}{2}$＞0，解得a＞$\frac{3}{2}$；
所以f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是f（$\frac{π}{2}$）=a-$\frac{3}{2}$；
a≤0時，f（x）=asinx-$\frac{3}{2}$＜0在x∈（0，π）上恒成立，函數(shù)f（x）無零點，不合題意；
綜上，f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是a-$\frac{3}{2}$．
故答案為：a-$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點的判定定理，是基礎(chǔ)題目．