Question

在一個半徑為2的半圓上截取一個矩形，則矩形的最大面積為________．

Answer 1

8
分析：設(shè)矩形的邊AB在半圓直徑上，則圓心O在AB的中點，取CD中點E，連接OC、OE，設(shè)∠EOC=θ，利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，可得矩形的兩邊長分別為2Rsinθ和Rcosθ，因此矩形的面積為S=2R²sinθcosθ，代入題中數(shù)據(jù)再結(jié)合二倍角正弦公式的逆用，可得矩形面積的最大值．
解答：設(shè)矩形的邊AB在半圓直徑上，則圓心O在AB的中點，取CD中點E，連接OC、OE，設(shè)∠EOC=θ，
則在Rt△OCE中，OC=2，，
∴CD=4sinθ，BC=2cosθ
∴矩形ABCD的面積為S=CD×BC=4sinθ•2cosθ=8sinθcosθ，
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴S=4sin2θ
∵sin2θ≤1，且2θ=90°時等號成立
∴當θ=45°時，S_max=4，
故答案為：4．
點評：本題考查了三角函數(shù)的定義與二倍角公式，以及在實際問題中建立三角函數(shù)模型解決應(yīng)用題的能力，屬于中檔題．